نمونه سوالات آمار و احتمالات مهندسی همراه جواب تشریحی

نمونه سوالات تایپی آمار و احتمالات مهندسی + پاسخ تشریحی

دانلود فایل

رشته برق دانشگاه آزاد مهندسی کامپیوتر پیام نور دانشگاه پیام نور رشته کامپیوتر علمی کاربردی رشته عمران کاردانی کارشناسی

ً ؟

‌‌; ; :

‌‌از نظر شانس، بلکه بر اساس کمیتی که اکنون «انتظار» نامیده می‌شود، حل کنیم. فرض کنید B قبلاً دور بعدی را برده بود. در این صورت، جایگاه های الف و ب با یکدیگر مساوی می شود که هر کدام دو بازی را برده اند و هر کدام حق دریافت 32 تپانچه را خواهند داشت. الف در هر صورت باید سهم خود را دریافت کند. در مقابل، 32 B به این فرض بستگی دارد که او در دور اول پیروز شده است. اکنون می‌توان این دور اول را به عنوان یک بازی منصفانه برای این شرط از 32 تپانچه در نظر گرفت، به طوری که هر بازیکن انتظار 16 تپانچه را دارد. بنابراین مقدار A 32 + 16 یا 48 است و B فقط 16 است.

مسابقه بریتانیکا اعداد و ریاضیات
بازی‌های شانسی مانند این یکی مشکلات مدلی را برای نظریه شانس در دوره اولیه آن ارائه کرد و در واقع آنها جزء اصلی کتاب‌های درسی هستند. یک کار پس از مرگ در سال 1665 توسط پاسکال در مورد “مثلث حسابی” که اکنون به نام او پیوند داده شده است ( به قضیه دو جمله ای مراجعه کنید ) نشان داد که چگونه می توان تعداد ترکیب ها را محاسبه کرد و چگونه آنها را برای حل مسائل ابتدایی قمار گروه بندی کرد. فرما و پاسکال اولین کسانی نبودند که برای مسائلی از نمونه سوالات آمار و احتمالات مهندسی قبیل راه حل های ریاضی ارائه کردند. بیش از یک قرن قبل، ریاضیدان، پزشک و قمارباز ایتالیاییجیرولامو کاردانو شانس بازی های شانس را با شمارش موارد به همان اندازه احتمالی محاسبه کرد. با این حال، کتاب کوچک او تا سال 1663 منتشر نشد، در آن زمان عناصر تئوری شانس قبلاً برای ریاضیدانان اروپا شناخته شده بودند. اگر کاردانو در دهه 1520 منتشر می شد، هرگز معلوم نخواهد شد که چه اتفاقی می افتاد. نمی توان فرض کرد که نظریه احتمال در قرن شانزدهم مطرح شده باشد. هنگامی که شروع به شکوفایی کرد، این کار را در سال انجام داد زمینه انجام داداز «علم جدید» انقلاب علمی قرن هفدهم، زمانی که استفاده از محاسبه برای حل مسائل پیچیده اعتبار جدیدی پیدا کرده بود. علاوه بر این، کاردانو به محاسبات خود در مورد شانس قمار اعتقاد زیادی نداشت، زیرا به شانس، به ویژه به شانس خود نیز اعتقاد داشت. در دنیای رنسانس از هیولاها، شگفتی‌ها و تشبیه‌ها، شانس – که با سرنوشت متحد شده بود – به آسانی طبیعی نمی‌شد و محاسبه هوشیارانه محدودیت‌هایی داشت.

نمونه سوالات آمار و احتمالات مهندسی با پاسخ تشریحی دانلود رایگان تست با جواب و پاسخ تشریحی

ریسک ها، انتظارات و قراردادهای منصفانه
در قرن هفدهم، راهبرد پاسکال برای حل مشکلات شانسی به استراتژی استاندارد تبدیل شد. برای مثال، ریاضیدان هلندی از آن استفاده کردکریستیان هویگنز در رساله کوتاه خود در مورد بازی های شانسی که در سال 1657 منتشر شد. هویگنز از تعریف برابری شانس به عنوان یک پیش فرض اساسی یک بازی منصفانه امتناع کرد، اما در عوض آن را از آنچه به عنوان یک مفهوم اساسی تر از مبادله برابر می دید مشتق کرد. اکثر سوالات احتمالات در قرن هفدهم حل شد، همانطور که پاسکال خود را حل کرد، با تعریف مجدد مسئله در قالب یک سری بازی که در آن همه بازیکنان انتظارات یکسانی دارند. نظریه جدید شانس، در واقع، صرفاً در مورد قمار نبود، بلکه در مورد مفهوم حقوقی یک قرارداد منصفانه نیز بود. یک قرارداد منصفانه متضمن برابری انتظارات بود که به عنوان مفهوم اساسی در این محاسبات عمل می کرد. معیارهای شانس یا احتمال در درجه دوم از این انتظارات به دست آمدند.

آمار و احتمالات

احتمال با مسائل حقوقی و مبادله در یک جنبه حیاتی دیگر گره خورده است. شانس وریسک ، در قراردادهای التزام، توجیهی برای وام دادن با بهره، و از این رو راهی برای اجتناب از ممنوعیت های مسیحی علیه ربا ارائه می کرد. وام دهندگان مانند سرمایه گذاران بودند. با سهیم شدن در ریسک، آنها نیز شایسته سهیم شدن در سود بودند. به همین دلیل، ایده های شانس قبلاً به روشی آزاد و عمدتاً غیر ریاضی در تئوری های بانکداری و دریایی گنجانده شده بود.بیمه . از حدود سال 1670، در ابتدا در هلند، از احتمال برای تعیین نرخ های مناسب برای فروش استفاده شد.سالیانه . یان دی ویت، رهبر هلند از سال 1653 تا 1672، در دهه 1660 با هویگنز مکاتبه کرد و سرانجام رساله کوچکی در مورد حقوق سالیانه در سال 1671 منتشر کرد.

سالیانه در اروپای مدرن اولیه اغلب توسط دولت ها برای جمع آوری پول صادر می شد، به ویژه در زمان جنگ. آنها عموماً طبق یک فرمول ساده مانند “خرید هفت ساله” فروخته می شدند، به این معنی که پرداخت سالانه به مستمری که تا زمان مرگ او وعده داده شده بود، یک هفتم اصل است. این فرمول سن را در زمان خرید سالیانه در نظر نمی گرفت. بذله گوییاطلاعاتی در مورد میزان مرگ و میر در سنین مختلف نداشت، اما او فهمید که هزینه مناسب برای سالیانه به تعداد سال‌هایی که می‌توان انتظار داشت خریدار زندگی کند و به نرخ بهره فرضی بستگی دارد. علی‌رغم تلاش‌های او و دیگر ریاضیدانان، حتی در قرن هجدهم به ندرت بود که حاکمان به چنین ملاحظات کمی توجه کنند. بیمه عمر نیز به طور ضعیفی به محاسبات احتمالات و سوابق مرگ و میر مرتبط بود، اگرچه داده های آماری در مورد مرگ در طول قرن 18 به طور فزاینده ای در دسترس قرار گرفت. اولین انجمن بیمه ای که بیمه نامه های خود را بر اساس محاسبات احتمال قیمت گذاری کرد، Equitable بود که در سال 1762 در لندن تأسیس شد.

احتمال به عنوان منطق عدم قطعیت
روحانی انگلیسی جوزف باتلر ، در خود بسیار تاثیرگذارقیاس دین (1736)، احتمال را «راهنمای زندگی» نامید. با این حال، این عبارت به محاسبه ریاضی اشاره نمی کند، بلکه صرفاً به قضاوت هایی اشاره دارد که در مواردی که اثبات منطقی غیرممکن است انجام می شود. کلمه احتمال در رابطه با ریاضیات شانس در سال 1662 در منطق پورت رویال، نوشته شده توسط همکار پاسکال یانسنیست ، آنتوان آرنولد و پیر نیکول استفاده شد. اما از قرون وسطیتا قرن هجدهم و حتی تا قرن نوزدهم، یک باور محتمل اغلب فقط باوری بود که معقول به نظر می رسید، از اعتبار خوبی برخوردار بود، یا شایسته تایید بود. احتمال، به این معنا، در انگلستان و فرانسه از اواخر قرن هفدهم به عنوان پاسخی بهشک و تردید . انسان ممکن است نتواند به دانش کامل دست یابد اما می تواند به اندازه کافی بداند که در مورد مشکلات زندگی روزمره تصمیم گیری کند. فلسفه طبیعی تجربی جدید اواخر قرن هفدهم با این جاه طلبی متواضعانه همراه بود، چیزی که بر اثبات منطقی اصرار نداشت.

با این حال، تقریباً از همان ابتدا، از ریاضیات جدید شانس نمونه سوالات آمار و احتمالات مهندسی شد تا نشان دهد که تصمیمات می‌توانند در نهایت دقیق‌تر باشند. پاسکال در مشهورترین فصل کتاب خود از آن استفاده کردPensées ، “در مورد ضرورت شرط بندی”، در رابطه با مهمترین تصمیم از همه، پذیرش ایمان مسیحی. کسی نمی تواند بداندوجود خداوند با قطعیت مطلق; هیچ جایگزینی جز شرط بندی وجود ندارد (“il faut parier”). شاید به گمان او، کافر را بتوان با در نظر گرفتن منافع شخصی متقاعد کرد. اگر خدایی وجود دارد (جزوه مدیریت شهری فرض می‌کرد که او باید خدای مسیحی باشد)، پس ایمان داشتن به او چشم‌انداز پاداشی بی‌نهایت را برای زمان بی‌نهایت ارائه می‌دهد . هر چقدر این احتمال کم باشد، فقط به شرطی که محدود باشد، انتظار ریاضی از این شرط بی نهایت است. برای یک منفعت بزرگ، شخص در طول زندگی کوتاه خود روی زمین، نسبتاً اندک، شاید چند لذت ناچیز را قربانی می کند. به نظر واضح می آمد که کدام انتخاب معقول تر است.

پیوند بین دکترین شانس و مذهب در بسیاری از قرن هجدهم، به ویژه در بریتانیا، پیوند مهمی باقی ماند. استدلال دیگر برای اعتقاد به خدا بر الهیات طبیعی احتمالی تکیه داشت. نمونه کلاسیک مقاله ای است که توسط آن خوانده می شودجان آربوتنوت به انجمن سلطنتی لندن در سال 1710 و در آن منتشر شدمبادلات فلسفی در سال 1712. آربوثنوت جدولی از جشن غسل تعمید در لندن از سال 1629 تا 1710 ارائه کرد. او مشاهده کرد که در هر سال تعداد تولدهای مردانه نسبت به زنان بیشتر از حد جزئی بود. این نسبت، تقریباً 14 پسر به ازای هر 13 دختر، با توجه به خطرات بزرگتری که مردان جوان در جستجوی غذا در معرض آن قرار دارند، کاملاً محاسبه شد تا جنسیت ها در سن ازدواج به یکسانی از نظر تعداد جنسیت برسند. آیا این نتیجه عالی می‌توانست به‌صورت تصادفی به دست بیاید؟ Arbuthnot فکر نمی کرد، و اویک محاسبه احتمال را برای نشان دادن این نکته به کار برد. احتمال اینکه تولد پسرها به طور تصادفی از زنان در 82 سال متوالی بیشتر شود (0.5) است. 82 است.. وی گفت: با توجه به اینکه این مازاد در سراسر جهان یافت می شود و در محدوده های ثابتی از تنوع، شانس تقریباً بی نهایت کوچک می شود. این استدلال برای احتمال قریب به اتفاق الهی استمشیت توسط بسیاری تکرار شد – و توسط عده کمی اصلاح شد. فیلسوف طبیعی هلندی Willem’sGravesande محدودیت‌های تنوع این نسبت‌های تولد را در ریاضیات خود گنجانید و به این ترتیب به اثبات قاطع‌تری از مشیت بر شانس دست یافت. نیکلاس برنولی، از خانواده مشهور ریاضیات سوئیسی، دیدگاه شکاکانه تری ارائه داد. اگر احتمال اصلی تولد پسر 0.5169 به جای 0.5 فرض می شد، داده ها کاملاً با نظریه احتمال مطابقت داشتند . یعنی هیچ جهت مشروط مورد نیاز نبود.

جدای از الهیات طبیعی، احتمال در طول قرن هجدهم به عنوان یک نسخه ریاضی از استدلال صحیح دیده شد. در سال 1677 ریاضیدان آلمانیگوتفرید ویلهلم لایب‌نیتس جهانی آرمان‌شهر را تصور می‌کرد که در آن اختلاف نظرها با این چالش مواجه می‌شد: «اجازه دهید محاسبه کنیم، قربان». ریاضیدان فرانسویپیر سیمون د لاپلاس ، در اوایل قرن نوزدهم، احتمال را «حس خوب به محاسبه خلاصه می‌شود» نامید. این جاه طلبی، به اندازه کافی جسورانه، آنقدرها که ممکن است در ابتدا به نظر می رسد علمی نبود. زیرا مواردی وجود داشت که کاربرد مستقیم ریاضیات احتمالات منجر به نتایجی شد که به نظر می رسید عقلانیت را به چالش می کشد. یک مثال، که توسط نیکلاس برنولی پیشنهاد شد و به عنوان معروف شدپارادوکس سنت پترزبورگ ، شامل یک شرط بندی با بازدهی فزاینده ای بود. یک سکه منصفانه باید پرتاب شود تا اولین باری که روی سرش بیاید. اگر در اولین پرتاب سر بالا بیاید، پرداخت 2 دوکات است. اگر بار اول بالا آمد در پرتاب دوم است، 4 دوکات. و اگر در پرتاب n، 2 n دوکات . انتظارات ریاضی از این بازی بی نهایت است، اما هیچ فرد عاقلی مبلغ بسیار زیادی را برای امتیاز دریافت سود از آن پرداخت نمی کند. ناسازگاری بین محاسبه و معقول بودن مشکلی را ایجاد کرد که توسط نسل‌های ریاضیدانان حل شد. در میان آنها دانیل برنولی ، پسر عموی نیکلاس، برجسته بود، که راه حل آن به این ایده بستگی داشت که دوکاتی که به ثروت یک مرد ثروتمند اضافه می شود، بسیار کمتر از یک مرد فقیر برای او سود می برد ( مفهومی که اکنون به عنوان شناخته می شود.کاهش مطلوبیت حاشیه ای؛ به سودمندی و ارزش: نظریه های سودمندی مراجعه کنید.

استدلال‌های احتمال نیز در بحث‌های عملی‌تر، مانند بحث‌های دهه‌های 1750 و 60 درباره عقلانیتتلقیح آبله آبله در این زمان بسیار گسترده و کشنده بود و بیشتر آنها را مبتلا می کرد و شاید از هر هفت اروپایی یک نفر را به همراه داشت. تلقیح در این روزها شامل انتقال واقعی آبله بود، نمونه سوالات آمار و احتمالات مهندسی واکسن های آبله گاوی که در دهه 1790 توسط جراح انگلیسی ادوارد جنر ابداع شد ، و خود نسبتاً خطرناک بود. آیا پذیرفتن احتمال کمی از مرگ تقریباً فوری برای کاهش بسیار زیاد احتمال مرگ ناشی از آبله در آینده نامعلوم منطقی بود؟ محاسبات انتظارات ریاضی، مانند دانیل برنولی، بدون ابهام به یک پاسخ مطلوب منجر شد. اما برخی مخالف بودند، معروفترین آنها ریاضیدان برجسته و خار همیشگی نظریه پردازان احتمالات، ریاضیدان فرانسوی.ژان لو روند دالامبر . او استدلال کرد که ممکن است به طور منطقی، اطمینان بیشتر از بقا در کوتاه مدت به بهبود چشم اندازهای اواخر زندگی ترجیح داده شود.

احتمال علل
تمبر یادبود سوئیس از ریاضیدان یاکوب برنولی که در سال 1994 منتشر شد، فرمول و نمودار قانون اعداد بزرگ را نشان می‌دهد که اولین بار توسط برنولی در سال 1713 اثبات شد.
بسیاری از جاه طلبی های قرن هجدهم برای نظریه احتمال ، از جمله آربوثنوت، شامل استدلال از معلول به علت بود.یاکوب برنولی ، عموی نیکلاس و دانیل، فرمول بندی و اثبات کردقانون اعداد بزرگ برای ایجاد ساختار رسمی به چنین استدلالی. این در سال 1713 از یک نسخه خطی منتشر شدArs conjectandi ، که پس از مرگش در سال 1705 پشت سر گذاشته شد. در آنجا نشان داد که نسبت مشاهده شده مثلاً پرتاب سرها یا تولدهای پسر با افزایش تعداد آزمایشات به احتمال واقعی p ، همگرا می شود، با فرض اینکه یکنواخت باشد. قضیه او طوری طراحی شد که اطمینان حاصل کند که وقتی p از قبل شناخته نشده باشد، می‌تواند توسط شخصی با تجربه کافی به درستی استنباط شود. او بیماری و آب و هوا را به نوعی شبیه نقاشی هایی از یک کوزه می دانست. در نهایت، آنها قطعی هستند، اما از آنجایی که نمی توان علل را با جزئیات کافی دانست، باید به بررسی احتمالات رویدادها در شرایط مشخص رضایت داشت.

پزشک و فیلسوف انگلیسیدیوید هارتلی در خود اعلام کردمشاهدات روی انسان (1749) مبنی بر اینکه یک “دوست باهوش” معینی راه حلی برای “مشکل معکوس” استدلال از وقوع یک رویداد p بار و شکست آن در q بار به “نسبت اولیه” علل به او نشان داده است. اما هارتلی نامی ذکر نکرد و اولین انتشار فرمولی که وعده داده بود در سال 1763 در مقاله پس از مرگ توماس بیز که توسط فیلسوف بریتانیایی ریچارد پرایس به انجمن سلطنتی ابلاغ شد، رخ داد . این به عنوان شناخته شده استقضیه بیز . اما این فرانسوی ها، به ویژه لاپلاس بودند که این قضیه را به عنوان یک حساب استقرایی به کار گرفتند ، و به نظر می رسد که انتشار لاپلاس از همان نتیجه ریاضی در سال 1774 کاملاً مستقل بود. نتیجه شاید در تئوری بیشتر از عمل مؤثر بود. یک کاربرد مثال زدنی ، احتمال طلوع خورشید فردا توسط لاپلاس بود، بر اساس 6000 سال یا بیشتر تجربه ای که در آن هر روز طلوع کرده است.

لاپلاس و ریاضیدانان دیگر که از نظر سیاسی درگیر هستند، به ویژه ماری-ژان-آنتوان-نیکولاس دکاریتا، مارکی دو کندورسه ، امیدوار بودند که احتمالاتی را در پایه علوم اخلاقی قرار دهند. این امر اساساً شکل احتمالات قضایی و انتخاباتی را به خود گرفت و بدین وسیله به برخی از دغدغه های اصلی فیلسوفان و منتقدان روشنگری پرداخت. عدالت و انتخابات، برای ریاضیدانان فرانسوی، از نظر رسمی مشابه بودند. در هر یک، یک سوال مهم این بود که چگونه می توان احتمال تصمیم گیری صحیح هیئت منصفه یا رای دهندگان را افزایش داد. یک عنصر شامل شواهد بود، موضوع کلاسیک نظریه احتمال. در سال 1699 ریاضیدان بریتانیاییجان کریگ از احتمال استفاده کرد تا حقیقت کتاب مقدس را اثبات کند و به طور خاص تر، پایان زمان را پیش بینی کند، زمانی که به دلیل فرسایش تدریجی حقیقت از طریق شهادت های متوالی، دین مسیحی دیگر محتمل شود. فیلسوف اسکاتلندیدیوید هیوم ، با شک و تردید، به زبان احتمالی اما غیرریاضی که از سال 1748 شروع شد، استدلال کرد نمونه سوالات آمار و احتمالات مهندسی شواهدیمعجزات به طور خودکار مشکوک بودند، همان طور که عموماً از افراد بی سواد، دوستداران چیزهای شگفت انگیز سرچشمه می گرفتند. علاوه بر این، معجزه به عنوان نقض قوانین طبیعت، احتمال ‌‌‌/«» ‌‌ً ‌